CÁCH TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN

     

Bài viết này vt-gas.com.vn trình làng đến chúng ta đọc lý thuyết và hạng của ma trận kèm những ví dụ với phân loại những dạng toán tự cơ phiên bản đến nâng cao về hạng của ma trận:

*

1. Search hạng của ma trận mang đến trước

Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1\ 2& - 1&3&1&3\ 3&2&0& - 1&2\ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$

*

Ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là bố nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z\ y&z&x\ z&x&y endarray ight).$

Giải. Theo vi – ét bao gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ và

Do đó $r(A)le 2.$ ngoài ra $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9\ 0&10&1&10 endarray ight)$ bằng cách thức định thức bao quanh.

Bạn đang xem: Cách tìm hạng của ma trận

Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2\ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3\ - 1&3&0\ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$

Kiểm tra những định thức cấp cho 4 phủ quanh định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$

Vậy $r(A)=3.$

Ví dụ 10: Tìm hạng của ma trận

Giải.

Ta xét những định thức cung cấp 5 bảo phủ định thức cấp cho 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Ví dụ 1: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng nhỏ tuổi nhất.

*

Ví dụ 2: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng nhỏ tuổi nhất.

*

Ví dụ 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau nhỏ dại nhất, cùng với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$

*

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ chứng minh rằng với đa số $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$

*

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$

*

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau

$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n\ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n\ ...&...&...&...&...\ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n\ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$

Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ nhỏ tuổi nhất.

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$

Giải.

$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$

Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn hiểu tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ có hạng bằng 2.

Xem thêm:
Hướng Dẫn Cách Làm Tinh Dầu Bưởi Thủ Công, Cách Làm Tinh Dầu Bưởi Trị Rụng Tóc Mọc Tóc

*

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ có hạng nhỏ xíu nhất.

*

Ví dụ 14. Tìm $m$ nhằm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ to nhất.

3. Hạng của ma trận phụ hợp

Định lí. Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n,nge 2$ cùng $A^*$ là ma trận phụ phù hợp của $A,$ lúc đó ta có:

$r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$

Chứng minh xem bài xích giảng trên đây:https://vt-gas.com.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

4. Dạng toán chứng minh về hạng của ma trận

Ta thực hiện các đặc thù về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ cùng với $A,B$ là hai ma trận thuộc cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ cùng với $A,B$ là hai ma trận bất kì sao cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ cùng với $A,B$ là nhị ma trận vuông thuộc cấp.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp cho $n$ đống ý $A^2=E.$ minh chứng rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ bao gồm $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ chứng tỏ rằng $r(A)ge n-1.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc ấy $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ với

Do đó $det (C)-(-1)^n$ phân chia hết cho 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$

Mặt khác $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ bao gồm $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ tìm hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$

Ta có $r(B)=r(C)=1$ và $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$

Mặt không giống $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Hiện tại vt-gas.com.vn gây ra 2 khoá học Toán cao cấp 1 cùng Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế tài chính của tất cả các trường:

Khoá học cung ứng đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài bác tập các dạng toán kèm theo mỗi bài bác học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng tự luận có lời giải chi tiết tại website để giúp đỡ học viên học cấp tốc và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học góp học viên đạt điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 cùng Toán thời thượng 2 trong số trường gớm tế.

Xem thêm: Công Thức Chế Tạo Thuốc Nổ Đơn Giản, Cách Để Làm Thuốc Súng, Công Thức Chế Tạo Thuốc Nổ

Sinh viên các trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được bộ combo này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH yêu mến Mại

- học viện Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH kinh tế tài chính ĐH nước nhà Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế tài chính của những trường ĐH khác trên khắp cả nước...